مختصات قطبی، رز های قطبی و چند منحنی دیگر

 

اغلب در ریاضیات عادت داریم با مختصات دکارتی کار کنیم. شاید بتوان گفت اغلب در محاسبات کاربردی ریاضیات استفاده از مختصات دکارتی کار را راحت تر می کند. با این وجود تحلیل بسیاری از پدیده ها و موقعیت ها در مختصات دکارتی سخت و طاقت فرسا است. برای مثال تحلیل حرکت سیارات منظومه شمسی. در مواردی شبیه به این می توان از یک دستگاه مختصات دیگر استفاده کرد که دستگاه مختصات قطبی(Polar Coordinate system) نام دارم. در این دستگاه  مختصات نقاط را نسبت به یک قطب بیان می کنیم.بر ای مشخص کردن موقعیت یک نقطه در مختصات قطبی نیاز به یک شعاع یعنی فاصله آن از قطب و زاویه نیاز داریم. این زاویه زاویه ای است که خط واصل بین نقطه و مرکز با محور افقی در جهت مثلثاتی می سازد.مانند مختصات دکارتی که می توان مولفه عمودی را بر حسب مولفه افقی نوشت در مختصات قطبی هم می توان شعاع را تابع زاویه دانست و نوشت:

$$r = f(\theta)$$

برخی از توابع در مختصات قطبی، نمودار بسیار زیبایی دارند. در این پست تعدادی از این توایع زیبا به همراه نمودارشان آورده شده است.برای زیبایی بیشتر در این نمودار ها محور های مختصات حذف شده و تابع رنگ آمیزی شده است(هر چند این نمودار ها بدون رنگ هم به اندازه کافی زیبا هستند).منحنی های زیر با استفاده از نرم افزار Sage رسم شده اند.

 

به منحنی هایی به فرم زیر رز قطبی می گویند. دلیل این نام گذاری از شکل آن ها پیداست.

$$ r = a\cos(k\theta + \gamma_0)  $$

برای نمونه منحنی های زیر را ببینید:

$$ r = \sin(3\theta)$$

$$ r = \cos(4\theta) $$

$$ r = \cos(\frac{3\theta}{7}) $$

$$ r = \cos(\frac{7\theta}{13}) $$

منحنی های بعدی رز نیستند. اما دارای شکل زیبایی در مختصات قطبی هستند.

$$ r = \sin(\frac{13\theta}{9}) + 2 $$

$$ r =  \sin^3(4\theta) – cos(4\theta) $$

$$ r = \sin(\frac{40\theta}{19}) + 3 $$

شاید یکی از نکات جذاب این منحنی ها این است که طراحی نشده اند. انگار از ابتدا وجود داشتند و شاید اصلا وجود نداشتن آن ها غیر ممکن است.

3 دیدگاه برای “مختصات قطبی، رز های قطبی و چند منحنی دیگر”

  1. قطب در مختصات قطبی چی معنی میدهد

    1. سلام. در مختصات قطبی برای مشخص کردن شعاع نقاط باید فاصله آن ها از یک نقطه را به عنوان درنظر گرفت. همچنین زاویه را نسبت به خط افقی گذرنده از این نطقه بدست می آورند. این نقطه قطب است. مثلا می توان در رادار یک هواپیما، خود هواپیما را قطب در نظر گرفت.

  2. خیلی مفید و عالی بود مرسی

پاسخ دهید